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    6．使得是增函数的区间为 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意，有，且，则称为M上的“h阶高调函数”。给出如下结论：

    ①若函数在R上单调递增，则存在非零实数h使为R上的“h阶高调函数”；

    ②若函数为R上的“h阶高调函数”，则在R上单调递增；

    ③若函数为区间上的“h阶高诬蔑财函数”，则

    ④若函数在R上的奇函数，且时，只能是R上的“4阶高调函数”。

        其中正确结论的序号为        （    ）

        A．①③             B．①④           C．②③             D．②④

     

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    设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
    ①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
    ②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
    ③若函数f（x）=x2为区间[-1，+∞）上的“h阶高诬蔑财函数”，则h≥2；
    ④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
    其中正确结论的序号为（　　）

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    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    已知函数在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减。

    （1）求的值；

    （2）若斜率为24的直线是曲线的切线，求此直线方程；

    （3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有2个不同交点？若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

     

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    已知函数在区间上为增函数，且。

    （1）当时，求的值；

    （2）当最小时，

    ①求的值；

    ②若是图象上的两点，且存在实数使得

    ，证明：。

     

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    一、选择题.(单项选择,5×12=60分.答案涂在答题卡上的相应位置.)

    1.C  2. A  3. B  4. B  5. B  6. B  7. A  8. C  9.D  10. B  11.D  12. B

    二、填空题.( 5×4=20分,答案写在答题纸的相应空格内.)

    13．6ec8aac122bd4f6e    14．②④⑤    15．6ec8aac122bd4f6e    16．11

    三、解答题.（12×5+10=70分,答案写在答题纸的答题区内.）

    17．（Ⅰ）∵ m?n6ec8aac122bd4f6e                               ……… 2分

    ∴6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e                          ……… 6分

    （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e      ……… 8分

    ∵6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e                        ………10分

    ∴6ec8aac122bd4f6e的值域为[6ec8aac122bd4f6e]                               ………12分

     

    18．（Ⅰ）把一根长度为8的铁丝截成3段，且三段的长度均为整数，共有21种解法．

    (可视为8个相同的小球放入3个不同盒子，有6ec8aac122bd4f6e种方法) …   3分

    其中能构成三角形的情况有3种情况：“2，3，3”、“3，2，3”、“3，3，2”．

    则所求的概率是6ec8aac122bd4f6e                                 ……… 6分

    （Ⅱ）根据题意知随机变量6ec8aac122bd4f6e                           ……… 8分

    ∴6ec8aac122bd4f6e        ……12分

    19．（Ⅰ）∵点A、D分别是6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e的中点，∴6ec8aac122bd4f6e. …… 2分

    ∴∠6ec8aac122bd4f6e=90º.∴6ec8aac122bd4f6e.∴ 6ec8aac122bd4f6e,                                                   

    ∵6ec8aac122bd4f6e,∴6ec8aac122bd4f6e⊥平面6ec8aac122bd4f6e.              ……… 4分

    ∵6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,∴6ec8aac122bd4f6e.                          ……… 5分

    6ec8aac122bd4f6e（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系6ec8aac122bd4f6e．

    则6ec8aac122bd4f6e（－1，0，0），6ec8aac122bd4f6e（－2，1，0），6ec8aac122bd4f6e（0，0，1）.

    ∴6ec8aac122bd4f6e=（－1，1，0），6ec8aac122bd4f6e=（1，0，1）,  …6分

    设平面6ec8aac122bd4f6e的法向量为6ec8aac122bd4f6e=（x，y，z），则：

    6ec8aac122bd4f6e，                                   ……… 8分

    令6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e=（1，1，－1）

    显然，6ec8aac122bd4f6e是平面6ec8aac122bd4f6e的一个法向量，6ec8aac122bd4f6e=（6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e）．     ………10分

    ∴cos<6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e>=6ec8aac122bd4f6e． 

    ∴二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角的余弦值是6ec8aac122bd4f6e.               ………12分

     

    20．（Ⅰ）6ec8aac122bd4f6e                                         ……… 4分

    （Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等………            5分

    ⑴当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为6ec8aac122bd4f6e，

    6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e．                               ……… 6分

    ⑵当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为6ec8aac122bd4f6e，

    6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e．                               ……… 7分

    ⑶当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e

    P在椭圆上，6ec8aac122bd4f6e.......①；R在椭圆上，6ec8aac122bd4f6e....

    ②利用Rt△POR可得　6ec8aac122bd4f6e        ……… 9分

    即　6ec8aac122bd4f6e

    整理得　6ec8aac122bd4f6e．                           ………11分

    再将①②带入，得6ec8aac122bd4f6e

    综上当6ec8aac122bd4f6e时，有6ec8aac122bd4f6e．         ………12分

     

    21．（Ⅰ）6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e单调递减，

    当6ec8aac122bd4f6e单调递增。

    ①若6ec8aac122bd4f6e无解；

    ②若6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

    ③若6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e上单调递增，

    6ec8aac122bd4f6e；

    所以6ec8aac122bd4f6e                           ……… 4分

    （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e则6ec8aac122bd4f6e

    设6ec8aac122bd4f6e则6ec8aac122bd4f6e时，

    6ec8aac122bd4f6e单调递减，6ec8aac122bd4f6e单调递增，

    所以6ec8aac122bd4f6e因为对一切6ec8aac122bd4f6e

    恒成立，所以6ec8aac122bd4f6e；                         ……… 8分

    （Ⅲ）问题等价于证明6ec8aac122bd4f6e，

    由（Ⅰ）可知6ec8aac122bd4f6e

    当且仅当6ec8aac122bd4f6e时取到，设6ec8aac122bd4f6e

    则6ec8aac122bd4f6e，当且仅当6ec8aac122bd4f6e时取到，

    从而对一切6ec8aac122bd4f6e成立．         ………12分

     

    22．（Ⅰ）连接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线          … 5分

    （Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

    又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E

    又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC    ∴6ec8aac122bd4f6e  ∴BC2=BD•BE

    ∵tan∠CED=6ec8aac122bd4f6e,∴6ec8aac122bd4f6e∵△BCD∽△BEC, ∴6ec8aac122bd4f6e

    设BD=x,则BC=2 又BC2=BD•BE，∴(2x)2=x•(x+6)

    解得x1=0,x2=2, ∵BD>0, ∴BD=2∴OA=OB=BD+OD=3+2=5          … 10分

     

    23．（Ⅰ）6ec8aac122bd4f6e                                   …  5分

    （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e                                     … 10分

     

    23．（Ⅰ）6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e                                             …  5分

    （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e               … 10分

     

     

     

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