直线l：（m+1）x+2y-2m-2=0（m∈R）恒过定点C，以C为圆疏，2为半径作圆C，
（1）求圆C方程；
（2）设点C关于y轴的对称点为C¹，动点M在曲线E上，在△MCC'中，满足∠C¹MC=2θ，△MCC'的面积为4tanθ，求曲线E的方程；
（3）点P在（2）中的曲线E上，过点P做圆C的两条切线，切点为Q、R，求

PQ•

PR

的最小值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以抛物线y2=4

3

x的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=

1

mn

y异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点(n，

an+1

an

)(n∈N+)在曲线C上，并有a₁=1，

an+1

an

-

an

an-1

=1(n≥2)
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an

(n+2)!

，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜

1

2

．