（本题满分16分）已知双曲线，顺次连接其实轴、虚轴端点所得四边形的面积为8，

（1）求双曲线焦距的最小值，并求出焦距最小时的双曲线方程；

（2）设A、B是双曲线上关于中心对称的两点，P是双曲线上另外一点，若直线PA、PB的斜率乘积等于，求双曲线方程。

如图，点、、是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与、轴的交点.

（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

    （2）当时，求的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由.

(2007上海，21)我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中，a＞0，b＞c＞0．如下图，点是相应椭圆的焦点，分别是“果圆”与x、y轴的交点．

(1)若△是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2)当时，求的取值范围；

(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由．