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已知直线l₁，l₂分别与双曲线C：的两条渐近线平行，又与x轴分别交M，N于两点，且满足|OM|²+|ON|²=8。
（1）求直线l₁与l₂的交点H的轨迹的方程；
（2）过点S（0，3）作斜率为k的直线l，并且l与轨迹E交于不同两点P，Q，点R与点P关于y轴对称，证明直线RQ经过一定点。

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设双曲线C：的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点。
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（1）中的点）的取值范围。

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

    BCDCA   DCBBD    BC

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．24     14．       15．5      16．4

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．解：（1）   =0

由正弦定理得：，

若因为所以，故

若，因为，所以，故

综上或

18．解：（1）

当时，

两式相减得

即

当时，数列是等比数列

要使数列是等比数列，

当且仅当，即

从而

（2）设数列的公差为

由得

故可设

又

右题意知

解得

又等差数列的前项和有最大值，

从而

19．解：（1）平面

证明：因为平面，所以，

又在中，，所以，又

所以，平面，

又在中，、分别是、上的动点，且

平面平面，

所以，不论为何值，总有平面；

（2）解：在中，，，所以，

又平面，所以，

又在中，，

由（1）知平面，

所以，三棱锥的体积是

20．解：（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得：

的分布列为

0

1

2

P

（2）设“甲、乙都不被选中”的事件为，则

所求概率为

（3）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

（或直接得）

21．解：（1）甲得是的中点

设依题意得:

消去，整理得

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示圆。

（Ⅱ）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，

因为直线斜率不存在时不符合题意，

可设直线的方程为 ，直线与椭圆的交点为

要使为锐角，则有

即

可得，对于任意恒成立

而。

所以满足条件的的取值范围是

22．解：（1）当时，

所以，在上是单调递增，

（2）的定义域是

当时，，所以，

当时，，所以，，

所以，在上单调递减，在上，单调递增，

所以，

  （3）由（2）知在上是单调递增函数，

若存在满足条件，则必有，

也即方程在上有两个不等的实根

但方程即只有一个实根

所以，不存在满足条件的实数