如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原.

（1）当时，折痕EF的长为            ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为             ；

（2）试探索使四边形EPFD为菱形时的取值范围，并求当时,菱形EPFD的边长.

提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助！

如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原.

（1）当时，折痕EF的长为            ；

当点E与点A重合时，折痕EF的长为             ；

（2）试探索使四边形EPFD为菱形时的取值范围，请简要说明探索过程。

并求当时,菱形EPFD的边长.

如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当时，折痕EF的长为( )；当点E与点A重合时，折痕EF的长为( )；

（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；

（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。