已知函数．
（I）求函数F（x）的单调区间；
（II）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的最小值；
（III）是否存在实数m，使得函数的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

              3分

18．（I）证明：由题意可知CD、CB、CE两两垂直。

       可建立如图所示的空间直角坐标系

       则       2分

       由  1分

       又平面BDF，

       平面BDF。       2分

   （Ⅱ）解：设异面直线CM与FD所成角的大小为

       。

       即异面直线CM与FD所成角的大小为   3分

   （III）解：平面ADF，

       平面ADF的法向量为      1分

       设平面BDF的法向量为

       由

            1分

          1分

       由图可知二面角A―DF―B的大小为   1分

19．解：（I）设该小组中有n个女生，根据题意，得

       解得n=6,n=4（舍去）

       该小组中有6个女生。        5分

   （II）由题意，的取值为0，1，2，3。      1分

             4分

       的分布列为：

0

1

2

3

P

       …………1分

        3分

20．解：（I）到渐近线=0的距离为，两条准线之间的距离为1，

               3分

            1分

   （II）由题意，知直线AB的斜率必存在。

       设直线AB的方程为

       由，

       显然

             2分

       由双曲线和□ABCD的对称性，可知A与C、B与D关于原点对称。

       而    1分

       点O到直线的距离   2分

               1分

21．解：（I）

              3分

   （Ⅱ）     1分

       上单调递增；

       又当

       上单调递减。      1分

       只能为的单调递减区间，

       的最小值为0。

   （III）

       于是函数是否存在极值点转化为对方程内根的讨论。

       而

            1分

       ①当

       此时有且只有一个实根

       存在极小值点     1分

       ②当

       当单调递减；

       当单调递增。

             1分

       ③当

       此时有两个不等实根

       单调递增，

       单调递减，

       当单调递增，

       ，

       存在极小值点      1分

       综上所述，对时，

       存在极小值点

       当    

       当存在极小值点

       存在极大值点      1分

   （注：本小题可用二次方程根的分布求解。）

22．（I）解：由题意，      1分

             1

       为首项，为公比的等比数列。

                 1分

            1分

   （Ⅱ）证明：

       构造辅助函数

       单调递增，

       令

       则

               4分

   （III）证明：

       时，

       （当且仅当n=1时取等号）。      3分

       另一方面，当时，

       （当且仅当时取等号）。

       （当且仅当时取等号）。

       综上所述，有      3分