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    题目列表(包括答案和解析)

    （Ⅰ）求证：
    C
    m
    n
    =
    n
    m
    C
    m-1
    n-1
    ；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
    (1+x)[1-(1+x)n]
    1-(1+x)
    =
    (1+x)n+1-(1+x)
    x
    ；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    （）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为                h.

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    （）（本小题满分12分）

     在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.

    （Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。

    （Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。

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    （）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

    1相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

    2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；

    3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

    4任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

    5分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。

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    （Ⅰ）求证：；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    一、选择题

    AACCD   BBDDD   AC

    二、填空题

    13．    14．T13    15．①⑤    16．

    三、解答题

    17．解：（Ⅰ）因为，

    由正弦定理，得，              ……3分

    整理，得

    因为、、是的三内角，所以，    

    因此  ．                                                 ……6分

       （Ⅱ），即，                ……8分

    由余弦定理，得，所以，      ……10分

    解方程组，得 ．                       ……12分

    18．（本题满分12分）

    解法一：记与的比赛为，

      （Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：

    ，,

    , ,

    , ．　　………………………３分

    　　其中田忌获胜的只有一种，所以田忌获胜的概率为．

    　　　…………………………………………………………………………………………６分

    （Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马，若田忌第一场出上等马或中等马，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．

    为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，后两场有两种情形：

    ①若齐王第二场派出中等马，可能对阵情形是、

    或者、，所以田忌获胜的概率为；　………………………９分

    ②若齐王第二场派出下等马，可能对阵情形是、

    或者、，所以田忌获胜的概率为，

    所以田忌按或者的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．

    　　　………………………………………………………………………………………１２分

    解法二：各种对阵情况列成下列表格：

     

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………３分

    （Ⅰ）其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌获胜的概率为．……６分

    （Ⅱ）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，即只能是第五、第六两种情形．　　…………………………………………………９分

    其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌按或者的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．………………………１２分

    19．（本题满分12分）

    解证: （Ⅰ） 连结连结，

    ∵四边形是矩形 

    ∴为中点

    又为中点,从而∥ ------------3分

    ∵平面,平面

    ∴∥平面。-----------------------5分

    （Ⅱ）（方法1）

    三角形的面积-------------------8分

    到平面的距离为的高 

    ∴---------------------------------11分

    因此，三棱锥的体积为。------------------------------------12分

    （方法2）

    ，

    ，

    ∴为等腰，取底边的中点，

    则，

    ∴的面积　-----------8分

    ∵，∴点到平面的距离等于到平面

    的距离，

    由于，，

    ∴ ，

    过作于，则就是到平面的距离，

    又，----------11分

    ---------------------12分

    （方法３）

    到平面的距离为的高 

    ∴四棱锥的体积------------------------9分

    三棱锥的体积

      ∴---------------------------------------------11分

           因此，三棱锥的体积为。-------------------------------------12分

    20．（Ⅰ）依题意知,                                                     

    ∵,

    ∴．                                        

    ∴所求椭圆的方程为．                     ……4分              

    （Ⅱ）设点关于直线的对称点为，

    ∴                            ……6分                 

    解得：，．                 ……8分               

    ∴．                                ……10分           

    ∵ 点在椭圆:上,

    ∴, 则．

    ∴的取值范围为．                      ……12分

    21．解：（Ⅰ）由知，定义域为，

    ．     ……………………3分

    当时，,                    ………………4分

    当时， ．                            ………………5分

    所以的单调增区间是,

    的单调减区间是．           …………………… ………………6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，

    在上单调递减，在上单调递增，且当或时，

    , 所以的极大值为，

    极小值为． 　　………………………8分

    又因为,　

    ,  ………１０分

    所以在的三个单调区间上，

    直线与的图象各有一个交点，

    当且仅当, 因此，

    的取值范围为．   ………………12分

    22．解：（Ⅰ）当时，　　……………………………3分

           ∴=

          =

          =

          =　　…………………………………7分

           （Ⅱ）  

      +

    +

    =

    =　……………13分

    当且仅当，即时，最小．……………………14分

     


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