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在中，、、分别为内角所对的边，且满足．

（1）证明：；

（2）如图，点是外一点，设，

，当时，求平面四边形面积的最大值．

 

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一．填空题：

1．；    2．；                 3．       4．2；           5．；

6. ；   7．；  8．3；          9．；     10．．

二．选择题：11．B ；     12．C；     13．C．

三．解答题：

14．[解]（Ⅰ）方法一（综合法）设线段的中点为，连接，

则为异面直线OC与所成的角（或其补角）  ………………………………..1分

       由已知，可得，

为直角三角形       ……………………………………………………………….1分

，  ……………………………………………………………….4分

．

所以，异面直线OC与MD所成角的大小．   …………………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，

则, ……………………………………………………2分

，， ………………………………………………………………………………..1分

 设异面直线OC与MD所成角为，

．……………………………….. …………………………2分

 OC与MD所成角的大小为．…………………………………………………1分

（Ⅱ）方法一（综合法）

作于， ……………………………………………………………………………1分

且，平面

平面 ………………………………………………………………………………4分

所以，点到平面的距离 …………………………………………………2分

方法二(向量法)

设平面的一个法向量，

…………………………………………………………………2分

．

……………………………………………………………………………………….2分

设到平面的距离为

则．……………………………………………………………………3分

15．[解]（Ⅰ）设“小明中一等奖”为事件 ，“小辉中一等奖”为事件 ，事件与事件相互独立，他们俩都中一等奖，则

所以，购买两张这种彩票都中一等奖的概率为． ………………………………..4分

（Ⅱ）事件的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”…1分

显然，事件A与事件B互斥，

所以， ………………………………..3分

故购买一张这种彩票能中奖的概率为．……………………………………………………..1分

（Ⅲ）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，的分布列如下：

…………………………………………..………………………………………………….3分

购买一张这种彩票的期望收益为损失元．…………………………………………………..3分

16．[解] （Ⅰ）由于恒成立，所以函数的定义域为………………..2分

，

（1）当时，函数，函数的值域为…………………………1分

（2）当时，因为，所以，

，从而，………………………………………………..3分

所以函数的值域为．   ……………………………………………………….1分

（Ⅱ）假设函数是奇函数，则，对于任意的，有成立，

即

当时，函数是奇函数．  …………………………………………………….2分

当时，函数是偶函数．  ………………………………………………..2分

当，且时，函数是非奇非偶函数．  ………………………………….1分

对于任意的，且，

………………………………………..3分

所以，当时，函数是常函数   ………………………………………..1分

当时，函数是递减函数．   ………………………………………..1分

17．[解]（Ⅰ）由题意，……………………………6分

（Ⅱ）解法1：由且知

，，

，，

因此，可猜测（）     ………………………………………………………4分

将，代入原式左端得

左端

即原式成立，故为数列的通项．……………………………………………………….3分

用数学归纳法证明得3分

解法2：由 ，

令得，且

即，……… ……………………………………………………………..4分

所以

因此，，．．．，

将各式相乘得………………………………………………………………………………3分

（Ⅲ）设上表中每行的公比都为，且．因为，

所以表中第1行至第9行共含有数列的前63项，故在表中第10行第三列，………2分

因此．又，所以． …………………………………..3分

则．…………………………………………2分

18．[解]（Ⅰ）动点的轨迹是以为原点，以3为半径的球面 ……………………………1分

并设动点的坐标为，动点满足．

则球面的方程为． …………………………………………………4分

（Ⅱ）设动点，则

所以  ……………………………………………………………5分

整理得曲面的方程：      （*）   …………………………………………2分

若坐标系原点建在平面上的点处，可得曲面的方程：同样得分．

（Ⅲ）（1）对称性：由于点关于平面的对称点、关于平面的对称点均满足方程（*），所以曲面关于平面与平面对称．  …………………2分

又由于点关于轴的对称点满足方程（*），所以曲面关于轴对称．

（2）范围：由于，所以，，即曲面在平面上方．  ………………2分

（3）顶点：令，得，即坐标原点在曲面上，点是曲面的顶点．  …2分

…………………………2分