3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性

2.求一个函数的反函数图象的方法，

1.互为反函数的函数图象间关系，

补充：设函数y=的反函数为y=，求y=的反函数.

解：在函数y=中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=, ∴x=-，∴y=的反函数为y=-，

又∵= ,∴y=的反函数为y=-.

例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.

解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,

∴由y=解出,

∴函数的反函数是,

作 y=(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数的图象(如图).

例2．求函数的值域．

分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.

解：∵　　 ∴　　 ∴　 y≠

∴函数的值域为{y|y≠}

例3 已知=(x<-1)，求；

解法1：⑴令=y=，∴=--①，∵x<-1，∴x=-;⑵∵x<-1，由①式知≥1,∴y<0;

⑶∴= -(x<0)；⑷=-2.

分析：由y=与y=互为反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=中,当x=b时y=a，本题要求，设其为u，说明在函数=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x.

解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.

说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.

3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像

若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；

⑵求反函数的定义域求原函数的值域；

⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同

2．证明结论(不要求掌握，根据实际情况处理)

证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点，

则当x=a时，有唯一的值.

∵有反函数，

∴当x=b时，有唯一的值，

即点(b,a)在反函数的图象上.

若a=b，则M，是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.

若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P，M

由两点间的距离公式得：

PM=,P=，

∴PM=P.　 ∴直线y=x是线段M的垂直平分线，

∴点M, 关于直线y=x对称.

∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，

∴图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，

∴函数与的图象关于直线y=x对称.

逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.

1．探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.

5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系(在定义域、值域和对应法则方面). 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究-互为反函数的函数图象间的关系.

①的反函数是

②的反函数是

4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y);

②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);