Question

已知，抛物线y=ax²+bx+c，过A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+b经过点C、M两点．且与x轴交于点E．△AEC的面积与△BCM的而积是否相等？如果相等，请给出征明；如果不相等，请说明理由；
（3）点P在此抛物线的对称轴上，设⊙P的半径为m．①若⊙P与直线CM相切．并且与x轴有交点，求m的取值范围；②若⊙P经过A、B两点，且与直线CM相切于点F，求切点F的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c，过A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴假设函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
将（0，-3）代入得：
-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（ 2）如图所示：
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M点的坐标为：（1，-4），
∵直线y=kx+b经过点C、M两点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：y=-x-3，
当y=0，x=-3，
∴E（-3，0），
S_△AEC=AE•CO=2×3=3，
S_△BCM=S_△BEM-S_△BEC=×6×4-×6×3=3，
所以成立；

（3）①设对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线的对称轴直线x=1上，
先考虑与x轴相切，则点P的位置有两种情况：
当点P在第四象限内，过点P作PG⊥EM于G．（如图1）
PG=PD=m．PM=4-m，
EM=4，
△PGM∽△EDM，m=4（-l），
当点P在第一象限内．
过PG⊥EM于G，（如图2），PG=PD=m，
PM=4+m，
同理△EDM∽△PGM，
m=4（+1），
4（-1）≤m≤4（+1）；
②（如图3）连接PF，过点F作FG⊥EB，
∵⊙P经过A、B两点，且与直线CM相切于点F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割线定理）
∴EF=2，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=，EG=，
OG=OE+EG=3+，
连接PF，过点F作FG⊥EB，
∵⊙P经过A、B两点，且与直线CM相切于点F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割线定理）
∴EF=2，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=，EG=，
OG=OE-EG=3-，
∴F（-3，）或F（-3-，-）．
分析：（1）根据交点式或待定系数法就可以求二次函数的解析式，
（2）根据公式或配方法可以求出抛物线的顶点坐标，把顶点坐标和C点代入函数y=kx+b就可以求出k，b的值，进而得出三角形面积关系；
（3）①分别利用当点P在第四象限内，当点P在第一象限内利用相似三角形的性质求出即可；
②利用切割线定理得出，EF=2，FG=，EG=，结合①中两种情况，进而得出答案即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定以及切割线定理等知识，此题综合性较强，利用数形结合以及分类讨论思想得出是解题关键．