Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，已知∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=20D，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；

（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），
解之得x=，
∴⊙O的半径r=，
同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，
∴PC=9，
在Rt△OCP中，tan∠P==．
分析：（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，则∠COD=∠EOD，根据等腰三角形的性质得∠ODC=∠ODE=90°，即CE⊥AB；
（2）由CE⊥AB，∠P=∠E，得到∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，得到∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，易证得Rt△OCD∽Rt△OPC，根据相似三角形的性质得OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），解出x，即可得圆的半径；
同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，可计算出PC，然后在Rt△OCP中，根据正切的定义即可得到tan∠P的值．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质以及三角函数的定义．