Question

已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是________（填“梯形”“矩形”或“菱形”）

Answer 1

矩形
分析：四边形EFGH为矩形，理由为：由E和H分别为AB与AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形中位线定理得到HE平行于BD且等于BD的一半，同理GF为三角形BCD的中位线，得到GF平行于BD且等于BD的一半，可得出HE与GF平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，同理得到HM平行于ON，HN平行于OM，得到四边形HMON为平行四边形，又AC与BD垂直得到∠MON为直角，可得出HMON为矩形，根据矩形的性质得到∠EHG为直角，可得出四边形EFGH为矩形．
解答：四边形EFGH的形状是矩形，理由为：
根据题意画出图形，如图所示：
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，
∴EH=BD，EH∥BD，FG=BD，FG∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又HG为△ACD的中位线，
∴HG∥AC，又HE∥BD，
∴四边形HMON为平行四边形，
又AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∴四边形HMON为矩形，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
故答案为：矩形．
点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．