Question

10．如图，点C是线段AB的中点，过点C作CD⊥AB，且CD=AB=8，点P是线段AB上一动点（不包括端点A，B），点Q是线段CD上的动点，CQ=2PC，过点P作PM⊥AD于M点，点N是点A关于直线PM的对称点，连结NQ，设AP=x．
（1）则AD=4$\sqrt{5}$，AM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x（AM用含x的代数式表示）；
（2）当点P在线段AC上时，请说明∠MPQ=90°的理由；
（3）若以NQ为直径作⊙O，在点P的整个运动过程中，
①当⊙O与线段CD相切时，求x的值；
②连结PN交⊙O于I，若NI=1时，请直接写出所有x的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AD，根据cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AD}$，构建方程即可求出AM．
（2）由tan∠D=tan∠PQC，推出∠D=∠PQC，推出PQ∥AD即可解决问题．
（3）①分两种情形当P在线段AC上，即0＜x≤4时．当P在线段BC上，即4＜x＜8时，分别构建方程即可解决问题．
②分两种情形当P在AC上，当P在线段BC上，分别构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，CD=AB=8，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AM}{x}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x．
故答案为4$\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$x；

（2）如图1中，

∵tan∠D=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，tan∠PQC=$\frac{PC}{CQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠D=tan∠PQC，
∴∠D=∠PQC，
∴PQ∥AD，
∵PM⊥AD，
∴PM⊥PQ，
∴∠MPQ=90°；

（3）①当P在线段AC上，即0＜x≤4时，
∵⊙O与BC相切，
∴NQ⊥CD，
∵AP=x，
∴CP=4-x，CQ=2PC=8-2x，DQ=8-（8-2x）=2x，DN=AD-2AM=4$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∵cos∠D=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{DQ}{DN}$，
∴$\frac{2x}{4\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$，
∴x=$\frac{20}{7}$．
当P在线段BC上，即4＜x＜8时，同理可得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{DQ}{DN}$，
∵CP=AP-AC=x-4，CQ=2CP=2x-8，DQ=CD-CQ=16-2x，
∴$\frac{16-2x}{4\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$，
∴x=$\frac{20}{3}$．
综上所述，x=$\frac{20}{7}$或$\frac{20}{3}$时，⊙O与CD相切．

②当P在AC上时，由题意PN=AP=x，
易证△PQI≌△PQC，可得PI=PC=4-x，
∵IN=1，
∴PI+IN=PN，
∴4-x+1=x，
∴x=$\frac{5}{2}$．
当P在线段BC上，设PN与CD的交点为点E，作NF⊥AB于F，
易知FN=$\frac{4}{5}$x，PF=$\frac{3}{5}$x，则CE=$\frac{4（x-4）}{3}$，PE=$\frac{5（x-4）}{3}$，
∴EN=x-$\frac{5（x-4）}{3}$=$\frac{20-2x}{3}$，EQ=（2x-8）-$\frac{4（x-4）}{3}$=$\frac{2x-8}{3}$，
EI=EN-IN=$\frac{17-2x}{3}$，
在Rt△EQI中，cos∠IEQ=$\frac{EI}{EQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{17-2x}{3}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{2x-8}{3}$，
∴x=$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，学会分类讨论不能漏解，属于中考压轴题．