Question

（2010•锦州）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=3，⊙O的半径为5．求BF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，运用勾股定理可将爱那个AC的长求出，运用切割线定理可将AE的长求出，根据△AED∽△ABF，可将BF的长求出．
解答：（1）证明：连接OD，BC，OD与BC相交于点G，
∵D是弧BC的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，
∴四边形DECG为矩形，
∴CG=DE=3，
∴BC=6．
∵⊙O的半径为5，
∴AB=10，
∴AC==8，
由（1）知：DE为⊙O的切线，
∴DE²=EC•EA，即3²=（EA-8）EA，
解得：AE=9．
∵D为弧BC的中点，
∴∠EAD=∠FAB，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBA=90°．
又∵DE⊥AC于E，
∴∠E=90°，
∴∠FBA=∠E，
∴△AED∽△ABF，
∴，
∴，
∴BF=．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．