Question

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于一点E．设A点的横坐标为t，
（1）若t=3，则点B的坐标为

（5，1.5）

，若t=-3，则点B的坐标为

（-1，-1.5）

；
（2）若t＞0，△BCD的面积为S，则t为何值时，S=6？
（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由勾股定理求得线段AC的长，然后利用△AOC∽△BOA求得线段BE、AE的长，从而求得点B的坐标；
（2）分0＜t＜8时和t＞8，利用△AOC∽△BEA根据相似比表示出点B的坐标后，利用面积为6求得t值即可；
（3）分0＜t＜8、t＞8、-2＜t＜0、t＜-2根据△AOC∽△CDB和△AOC∽△BDC两种情况得到比例式即可求得t值．

解答：解：（1）∵C的坐标为（0，4），t=3或-3，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵△AOC∽△BEA且相似比为

AC

AB

=2，AO=3  OC=4
∴AE=2，BE=1.5
∴点B的坐标为（5，1.5）或（-1，-1.5  ）；             
（2）①当0＜t＜8时，如图（1）
△AOC∽△BEA且相似比为

AC

AB

=

AC

AM

=2，
求得点B的坐标为（t+2，

1

2

t），
∴S=

1

2

DC•DB=

1

2

（t+2）×（4-

1

2

t）=6，
解得  t=2或4，
②当t＞8时，如图（2）
S=

1

2

DC•DB=

1

2

（t+2）×（

1

2

t-4）=6，
解得  t=10或t=-4（舍去）
∴t=2，t=4，t=10，
（3）①当0＜t＜8时，如图（1）
若△AOC∽△CDB
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

t

t+2

=

4

4- 1 2 t

∴t无解
若△AOC∽△BDC，同理，解得t=2

5

-2或t=-2

5

-2（不合题意舍去），
②当t＞8时，如图（2）
若△AOC∽△CDB，
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

t

t+2

=

4

1 2 t-4

，
解得t=±4

5

+8，取t=4

5

+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得t无解，
③当-2＜t＜0时，如图（3），
若△AOC∽△CDB，
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

-t

t+2

=

4

4- 1 2 t

，
解得t=4

5

+8（不合题意舍去）或t=-4

5

+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得t无解
④当t＜-2时，如图（4）
若△AOC∽△CDB，
∴

AO

CD

=

CO

BD

即：

-t

-t-2

=

4

4- 1 2 t

，
则t无解，
若△AOC∽△BDC，同理，解得t=4（不合题意舍去）或-4；
则t=2

5

-2，t=4

5

+8，t=-4

5

+8，t=-4．

点评：本题考查了相似形的综合题，比较繁琐，难度很大，解答此题的关键是画出图形作出辅助线，结合相似三角形的性质利用比例式列出方程解答．体现了数形结合在解题中的重要作用．