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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠o）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）如图（2）T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，求点T的坐标；
    （3）如图（3），过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴，G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
    （2）首先设M的坐标为（m，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2=BD•MN，则可得到关于m的一元二次方程，解方程即可求得答案；
    （3）作F关于x轴的对称点F′（0，-1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，
    ∵点B的坐标为（3，0），
    ∴4a+4=0，
    ∴a=-1，
    ∴此抛物线的解析式为：y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；

    （2）∵y=-x2+2x+3，∴当x=0时，y=3，
    ∴点D的坐标为（0，3），
    ∵点B的坐标为（3，0），
    ∴BD=
    		32+32
    =3
    		2
    ．
    设M（m，0），则DM=
    		32+m2
    ．
    ∵MN∥BD，
    ∴
    MN
    BD
    =
    AM
    AB
    ，即
    MN
    3
    		2
    =
    1+m
    4
    ，
    ∴MN=
    3
    		2
    4
    （1+m）．
    ∵△DNM∽△BMD，
    ∴
    DM
    BD
    =
    MN
    DM
    ，即DM2=BD•MN，
    ∴9+m2=3
    		2
    ×
    3
    		2
    4
    （1+m），
    解得：m=
    3
    2
    或m=3（舍去）．
    当m=
    3
    2
    时，y=-（
    3
    2
    -1）2+4=
    15
    4
    ．
    故所求点T的坐标为（
    3
    2
    ，
    15
    4
    ）；

    （3）在x轴上存在一点H，能够使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小．理由如下：
    ∵y=-x2+2x+3，对称轴方程为：x=1，
    ∴当x=2时，y=-4+4+3=3，
    ∴点E（2，3）．
    ∴设直线AE的解析式为：y=kx+n，
    ∴
    -k+n=0
    2k+n=3
    ，解得
    k=1
    n=1
    ，
    ∴直线AE的解析式为：y=x+1，
    ∴点F（0，1），
    ∵D（0，3），
    ∴D与E关于x=1对称，
    作点F关于x轴的对称点F′（0，-1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，则四边形DFHG的周长即为最小．
    设直线EF′的解析式为：y=px+q，
    ∴
    q=-1
    2p+q=3
    ，解得：
    p=2
    q=-1
    ，
    ∴直线EF′的解析式为：y=2x-1，
    ∴当y=0时，2x-1=0，得x=
    1
    2
    ，即H（
    1
    2
    ，0），
    当x=1时，y=1，即G（1，1）；
    ∴DF=2，FH=F′H=
    		12+(
    1
    2
    )2
    =
    		5
    2
    ，DG=
    		12+22
    =
    		5
    ，
    ∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+
    		5
    2
    +
    		5
    2
    +
    		5
    =2+2
    		5
    ．
    点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数函数的解析式，平行线分线段成比例定理，轴对称-最短路线问题，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，抛物线y=-（x-m）2的顶点为A，直线l：y=
    		3
    x-
    		3
    m    与y轴的交点为B，其精英家教网中m＞0．
    （1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标；（用含有m的代数式表示）
    （2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；
    （3）动点Q在抛物线的对称轴上，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=
    1
    2
    x2+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于精英家教网点C，OA=OB，BC∥x轴．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=
    		2
    ，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，一条抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点坐标为（2，
    83
    ），正方形ABCD的边AB落在x轴的正半轴上，顶点C、D在这条抛物线上．
    （1）求这条抛物线的表达式；
    （2）求正方形ABCD的边长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•本溪）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
    （3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
    （1）求点A，B，C的坐标．
    （2）若点M为抛物线的顶点，连接BC，CM，BM，求△BCM的面积．
    （3）若点M是第一象限抛物线上的一个动点，连接BC，CM，BM，求△BCM的最大面积．

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