Question

①已知：△ABC中，BC=m，∠A=60°．问满足此条件的三角形有多少个？它们的最大面积存在吗？若存在求出最大面积，并回答此时三角形的形状；若不存在，请说明理由．

②有一个正方形的养鱼塘，四个角各有一棵大树．生产队设想把鱼塘扩大，使它成为一个面积最大的正方形，而又不把树挖掉，这一设想能否实现？若能，请你设计画出图形，并证明此时面积最大．若不能，请说明理由．

③上问题推广，有一个正五边形的养鱼塘，五个角各有一棵树，要扩大使它成为面积最大的正五边形，而又不把树挖掉，可以吗？画图说明．

Answer 1

解：①在△ABC中，BC=m，∠A=60°满足此条件的三角形有无数个；
如图，作△ABC的外接圆，

当A是优弧BAC的中点时，BC边上的高最大，因而面积最大，最大面积为S=BC•AD=m•m=m²
如下图，此时三角形为等边三角形．

②能够实现设想，设计图形如下：

③可以，设计图形如下：

分析：①根据A一定在以BC为弦，BC一侧，所对的圆周角是60°的圆上，当AB=AC时，△ABC的面积最大，据此即可求解；
②过各顶点作对应的对角线的垂线，各条线组成的四边形，就是所求的四边形；
③过各个顶点作正五边形，使各顶点时正五边形的各边的中点．
点评：本题主要考查了作图的设计，正确理解（1）中，△ABC面积最大的条件是解题的关键．