Question

如图（1），直线y=x+2交x轴、y轴于A、B两点，C为直线AB上第二象限内一点，且S_△AOC=8，双曲线y=经过点C

①求k的值；
②如图（2），过点C作CM⊥y轴于M，反向延长CM于H，使CM=CH，过H作HN⊥x轴于N，交双曲线y=于D，求四边形OCHD的面积；
③如图（3），点G和点A关于y轴对称，P为第二象限内双曲线上一个动点，过P作PQ⊥x轴于Q，分别交线段BG于E，交射线BC于F，试判断线段QE+QF是否为定值？若为定值，证明并求出定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+2交x轴、y轴于A、B两点，
∴当x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∴OA=4．
作GR⊥x轴于R，且S_△AOC=8，
∴×4CR=8，
∴CR=4，
∴4=x+2
∴x=-4，
∴C（-4，4），
∴4=，
∴k=-16，
∴双曲线的解析式为：y=-

（2）∵C（-4，4），CM⊥y轴，CM=CH，
∴CM=CN=4，OM=4，
∴S_△MCO=S_△HCO=S_△DNO=×4×4=8，
∴S_△HOM=16，
∴S_矩形HNOM=32，
∴S_{四边形OCHD}=16．

（3）QE+QF=4，是定值．
理由：∵点G和点A关于y轴对称，
∴G（-4，0），设直线GB的解析式为y=kx+b，则有
，
解得，
∴y=x+2．
设P（a，b），则有QE=a+2，QF=-a+2，
∴QE+QF=4
∴QE+QF=4，是定值．

分析：（1）由直线的解析式求出A点的坐标，求出OA的值，作GR⊥x轴于R，由△AOC的面积求出CR的值，进而求出C点的纵坐标，代入直线解析式求出C点的坐标，就可以求出双曲线的解析式，从而求出k的值．
（2）由C点的坐标可以求出CM=CH的值和OM的值，可以求出S_△MCO=S_△HCO=S_△DNO，求出矩形的面积，进而可以求出四边形OCHD的面积；
（3）由条件求出G点的坐标和B点的坐标，从而求出直线GB的解析式，设出P点的坐标，表示出QE、QF的值就可以求出QE+QF的值的情况，从而得出结论．
点评：本题是一道反比例函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式、直线的解析式，三角形的面积及矩形的面积，直线的解析式的运用及线段和的定值问题等多个知识点．