Question

如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（3，0），经过A、O两点作⊙D交y轴的负半轴于点B．且点O为半圆的中点．
（1）求B点的坐标；
（2）若C点的坐标为（-1，0），求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）过B点作⊙D的切线交x轴与点E，试判断抛物线的顶点时是否在直线BE上，并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，∵O为原点，点A的坐标为（3，0），
∴OA=3．
∵点O为半圆的中点，
∴OB=OA=3．
∵点B位于y轴的负半轴，
∴B（0，-3）；

（2）设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵A（3，0），B（0，-3），C（-1，0），
∴，
解得，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（3）抛物线的顶点在直线BE上，理由如下：
∵在△AOB中，OA=OB，∠OAB=90°，
∴∠OBA=45°．
又∵BE是⊙D的切线，
∴BE⊥AB，即∠EBA=90°，
∴∠EBO=∠ABO，
∴OE=OB=3，则E（-3，0）．
设直线BE的方程为y=kx-3（k≠0）．则0=-3k-3，
解得，k=-1，
∴直线BE的方程为y=-x-3．
由（2）知，经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x²-2x-3，则该抛物线的顶点坐标是（1，-4）．
∵当x=1时，y=-1-3=-4，
∴抛物线的顶点在直线BE上．
分析：（1）易证△AOB为等腰直角三角形，则OA=OB=3．因为点B位于y轴上，则点B的横坐标是0，所以B（0，3）；
（2）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式y=ax²+bx+c（a≠0），列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（3）利用（2）中的抛物线解析式可以求得该抛物线的顶点坐标，把该顶点坐标代入直线BE方程式，如果适合，则说明抛物线的顶点时在直线BE上．反之，抛物线的顶点时不在直线BE上．
点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，圆的切线的性质以及一次函数图象上点的坐标特征．综合性强，能力要求极高．需要学生掌握数形结合的数学思想方法．