Question

10．阅读材料：若m²-2mn+2n²-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m²-2mn+2n²-8n+16=0，∴（m²-2mn+n²）+（n²-8n+16）=0
∴（m-n）²+（n-4）²=0，∴（m-n）²=0，（n-4）²=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a²+b²-4a+4=0，则a=2．b=0．
（2）已知x²+2y²-2xy+6y+9=0，求x^y的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a²+b²-4a-6b+11=0，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值；
（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．

解答 解：（1）已知等式整理得：（a-2）²+b²=0，
解得：a=2，b=0；
故答案为：2；0；

（2）∵x²+2y²-2xy+6y+9=0，
∴x²+y²-2xy+y²+6y+9=0，
即（x-y）²+（y+3）²=0，
则x-y=0，y+3=0，
解得：x=y=-3，
∴x^y=（-3）^-3=-$\frac{1}{27}$；

（3）∵2a²+b²-4a-6b+11=0，
∴2a²-4a+2+b²-6b+9=0，
∴2（a-1）²+（b-3）²=0，
则a-1=0，b-3=0，
解得：a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．

点评 此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．