Question

如图（1），四边形ABCD中，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF

（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF-BE，请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；
（2）如图（2），如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；
（3）如图（3），如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）。

Answer 1

解：（1）证明：在DF上截取DM=BE； ∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°， ∴△ABE≌△ADM， ∴AE=AM，∠EAB=∠DAM， ∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM， ∴∠BAF+∠DAM=45°，即∠MAF=45°=∠EAF， 又∵AE=AM，AF=AF， ∴△AEF≌△AMF，得EF=FM， ∵DF=DM+FM， ∴DF=BE+EF，即EF=DF-BE；
（2）EF=DF-BE；
（3）EF=DF-BE； 证明：在DF上截取DM=BE， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠D=∠ABE， ∴AD=AB， ∴△ADM≌△ABE， ∴AM=AE，∠DAM=∠BAE； ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD， ∴∠DAM+∠BAF=∠BAD， ∴∠MAF=∠BAD， ∵AF是△EAF与△MAF的公共边， ∴△EAF≌△MAF， ∴EF=MF， ∵MF=DF-DM=DF-BE， ∴EF=DF-BE；
（4）△CEF的周长为15。