Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是斜边AB的中点，点E、F分别是边AC、BC上两个动点，且ED⊥DF．
（1）当E、F分别在AC、BC边上移动时，并保持∠EDF=90°，DE、DF是否相等？请证明你的结论．
（2）当E、F分别在AC、BC上移动时，并保持∠EDF=90°，S_{四边形DECF}会随着变化吗？请证明你的结论．
（3）S_{四边形DECF}=5cm²时，求AC的长．

Answer 1

（1）解：DE=DF．
理由如下：如图，连接CD，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD是∠ACB的平分线，
作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，
则∠DME=∠DNF=90°，DM=DN（角平分线上的点到角的两边距离相等），
又∵∠C=90°，
∴四边形CMDN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDF+∠FDN=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDM+∠MDF=90°，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM和△DFN中，
∵，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：S_{四边形DECF}不会变化．
理由如下：根据（1）可得△DEM≌△DFN，
所以S_△DEM=S_△DFN，
所以S_{四边形DECF}=S_{正方形CMDN}，
∵点D是斜边AB边的中点，
∴CD=AB（不变），
∴正方形CMDN的面积不变，
∴S_{四边形DECF}不会变化；

（3）解：∵S_{四边形DECF}=5cm²，
∴CD²=5（正方形的面积等于对角线乘积的一半），
解得CD=，
AC=CD=×=2（等腰直角三角形斜边等于直角边的倍）．
分析：（1）连接CD，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD是∠ACB的平分线，作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，再证明四边形CMDN是正方形，然后根据等角的余角相等可得∠EDM=∠FDN，然后利用“角边角”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF；
（2）根据全等三角形的面积相等可得△DEM和△DFN的面积相等，从而得到四边形DECF的面积等于正方形CMDN的面积，是定值不变；
（3）根据四边形DECF的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系即可得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，正方形的面积的求解，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．