Question

如图所示，⊙O′过点O，A，B，O（0，0），A（0，2），B（2，0），圆上一动点P．
（1）求∠OPB；（2）当P到OB距离最远时，求P点坐标及△POB的面积．

Answer 1

解：（1）∠OPB=∠OAB，∵AB是⊙O直径，
∴∠AOB=90°，AO=OB=2，∠OAB=45°，∠OAB=∠OPB=45°．

（2）如图，当P运动到距离OB最高时，
作OB中垂线交⊙O于P，N，交OB于C，PC＞NC，PC最长．
∵AB==2．OC=OB=×2=1．∴O′C==1，
∴P（1，1+）．S_△OPB=•PC•OB=×2×（1+）=1+．
分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可求得∠OAB的度数．根据所给的坐标发现等腰直角三角形；
（2）根据圆的轴对称性，当P到弦的垂直平分线和优弧的交点时和OB的距离最远．根据垂径定理的推论知弦的垂直平分线必过圆心，只需进一步求得O′C的长．
点评：此题中主要是能够根据点的坐标发现特殊三角形求解．