Question

如图，AD是△ABC的高．
（1）作△ABC的外接圆⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若AB=4，AD=2，AC=3，求⊙O直径的长．

Answer 1

解：（1）如图所示：

（2）连接AO，延长AO交⊙O于点M，连接BM．
∵AD是BC边上的高，
∴△ABD，△ADC都是直角三角形，
又∵AM是直径，则∠ABM=90°，
由圆周角定理知，∠C=∠M，
∴sinC=sinM==，
又∵AC=3，AD=2，AB=4，
∴AM==6．
分析：（1）作出AB、AC的垂直平分线，两线交点就是圆心，再以O为圆心，AO长为半径画圆即可；
（2）连接OA并延长，与圆O交于M，连接BM，由AM为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ABM为90°，根据圆周角定理可得∠M和∠C相等，进而得到两角的正弦值相等，根据锐角三角形函数定义可得出比例式，由已知AB，AC及AD的长即可求出直径AM的长．
点评：此题考查了圆周角定理、复杂作图，以及锐角三角函数定义，根据题意画出相应的图形，借助图形作出辅助线是解本题的关键．