Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=15，cos∠BDC=$\frac{4}{5}$，求AC的长和tanA的值；
（2）若∠BDC=30°，求tan15°的值．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得DB=DA=15，再根据余弦的定义得到cos∠BDC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，则DC=12，根据勾股定理可计算出BC=9，然后在Rt△ACB中，根据正切的定义求解；
（2）设AD=t，则DB=t，在Rt△DCB中根据含30°角的直角三角形的性质得到BC=$\frac{1}{2}$t，DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，再证明∠A=15°，然后根据正切的定义即可求出tan15°=tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）t}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA=15，
∵在Rt△DCB中，cos∠BDC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{CD}{15}$=$\frac{4}{5}$，
∴DC=12，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=9．
在Rt△ACB中，AC=AD+CD=27，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{9}{27}$=$\frac{1}{3}$；

（2）设AD=t，则DB=t，
∵在Rt△DCB中，∠C=90°，∠BDC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$t，DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A+∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠A=∠ABD=15°．
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=AD+DC=t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）t，
∴tan15°=tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）t}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形、勾股定理以及锐角三角函数的定义．求BC的长度时，利用“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”求得BD的长度是解答（1）的关键所在．