Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DF⊥BC于F，交AB于E．求证：△ADE是等腰三角形．

Answer 1

证明：
证法一：
过点A作AG⊥BC于G，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥BC，
∴AG∥DF，
∴∠1=∠AED，∠2=∠D，
∴∠AED=∠D，
∴AE=AD，
即△ADE是等腰三角形；
证法二：
在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵DF⊥BC于F，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BEF=90°，
∴∠D=∠BEF（等角的余角相等），
又∵∠BEF=∠AED（对顶角相等），
∴∠D=∠AED（等量代换），
∴AD=AE（等角对等边）
∴△ADE是等腰三角形．
分析：证法一：过点A作AG⊥BC于G，由于AB=AC，利用等腰三角形三线合一性质可知∠1=∠2，而据图易证DF∥AG，再利用平行线的性质可得∠1=∠AED，∠2=∠D，等量代换可得∠AED=∠D，于是AD=AE，即可证；
证法二：据图易知∠ADE=90°-∠C，∠BEF=90°-∠B，而AB=AC，可知∠B=∠C，于是∠ADE=∠BEF，又∠AED和∠BEF是对顶角，易得∠D=∠AED，从而有AD=AE，易证之．
点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠D=∠AED，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．