Question

如图，四边形ABCD是矩形，点O在矩形上方，点B绕着点O逆时针旋转60°后的对应点为点C．
（1）画出点A绕着点O逆时针旋转60°后的对应点E；
（2）连接CE，证明：CO平分∠ECD
（3）在（1）（2）的条件下，连接ED，猜想ED与CO的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）以点O为圆心，画出矩形ABCD绕点O逆时针旋转90°的位置，然后即可得解；
（2）根据旋转的性质可得∠AOE=∠BOC=60°，AO=EO，BO=CO，再求出∠AOB=∠EOC，然后利用“边角边”证明△0AB和△OEC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABO=∠ECO，再求出∠ECO=∠DCO=30°，从而得证；
（3）先求出EC=CD，再根据等腰三角形三线合一证明即可．

解答：解：（1）点E如图所示；
（2）由题意可知：∠AOE=∠BOC=60°，AO=EO，BO=CO，
∴∠AOE-∠BOE=∠BOC-∠BOE，
即∠AOB=∠EOC，
在△0AB和△OEC中，

AO=EO ∠AOB=∠EOC BO=CO

，
∴△0AB≌△OEC（SAS），
∴∠ABO=∠ECO，
∵∠BOC=60°，BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABO=90°-60°=30°，
∴∠ABO=∠ECO=30°，
∴∠DCO=∠BCD-∠ECO=90°-60°=30°，
∴∠ECO=∠DCO，
故CO平分∠ECD；

（3）猜想：CO垂直平分ED．
证明：∵△0AB≌△OEC，
∴AB=EC=CD，
又∵CO平分∠ECD，
∴CO垂直平分ED．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，综合性较强，难度较大，根据角的度数相等得到角相等是求解的关键．