Question

如图，∠AOB=30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃、…、半圆C_n的半径分别是r₁、r₂、r₃、…、r_n，则=________．

Answer 1

3
分析：设三个半圆与直线OC分别相切于D、E、F点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC₁=2C₁D，0C₂=2C₂E，0C₃=2C₃F，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r₁、r₂、r₃间的关系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此规律可归纳出r_n的值．
解答：
解：连接C₁D，C₂E，C₃F．
∵三半圆都与射线OB相切，
∴C₁D⊥OD，C₂E⊥OE，C₃F⊥OF，
又∵∠AOB=30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC₁=2C₁D=2r₁，0C₂=2C₂E=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃F=OC₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∴r₃=9r₁=3²r₁，
∴按此规律归纳得：r_n=3^n-1r₁
则==3．
故答案是：3．
点评：此题考查了两圆相切的性质，切线的性质，含30°直角三角形的性质，一次函数的性质，两圆了转化及数形结合的思想，锻炼了学生归纳总结的能力，其中当两圆外切时，两圆的圆心距等于两半径之和；两圆内切时，两圆圆心距等于两半径之差，熟练掌握性质是解本题的关键．