Question

26、已知：D是Rt△ABC斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥DF，延长FD到Q，使FD=DQ，连接BQ．
（1）试说明AB⊥BQ的理由；
（2）探究BE²、CF²与EF²有何等量关系．

Answer 1

分析：（1）连接QE，证明△BQD≌△CFD，得出∠DBQ=∠C，再证出∠EBQ=90°，从而得出AB⊥BQ．
（2）由Rt△EBQ得出BE²+BQ²=QE²，再由△BQD≌△CFD得出DQ=DF，由ED是QF的垂直平分线，得出QE=EF，从而得到BE²+CF²=EF²．

解答：解：（1）连接QE，（1分）
∵D是Rt△ABC斜边BC上的中点，
∴CD=BD．
又∵FD=DQ，∠FDC=∠QDB，
∴△FDC≌△QDB．
∴∠DBQ=∠C．
∴AC∥BQ．
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABQ=90°．
∴AB⊥BQ．

（2）BE²+CF²=EF²
∵∠EBQ=90°，
∴BE²+BQ²=QE²
∵ED⊥DF，
又∵△BQD≌△CFD，
∴DQ=DF．
∴ED是QF的垂直平分线．
∴QE=EF．
∵△DFC≌DQB，
∴CF=BQ．
∴BE²+CF²=EF²．

点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识．