Question

如图①，?ABCD中AB=12cm，BC=8cm，∠D与∠C的平分线分别交AB于F、E．
求：
（1）AE、BF的长．
（2）改变BC的长度，上题其他条件不变，使点E、F重合，如图②，则点E、F重合时BC长为多少？并求出这时AE的长．
（3）在上题（2）中，如果∠A=60°，请出△CDE的面积．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDF=∠AFD，∠DCE=∠BEC，AD=BC=8cm，
∵∠D与∠C的平分线分别交AB于F、E．
∴∠ADF=∠CDF，∠BCE=∠DCE，
∴∠ADF=∠AFD，∠BCE=∠BEC，
∴AD=AF，BC=BE，
∵AB=12cm，BC=8cm，
∴BE=AF=8cm，
∴AE=AB-BE=12-8=4（cm），BF=AB-AF=12-8=4（cm）；

（2）∵由（1）AE=BE，AB=AE+BE，
∴AB=2AE=12cm，
∴AE=BE=6cm，
∴BC=BE=6cm；
∴点E、F重合时BC长为6cm，这时AE的长为6cm；

（3）∵∠A=60°，AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=120°，
∵AD=AE，BC=BE，
∴∠DEA=60°，∠BEC=30°，DE=AE=6cm，
∴∠DEC=90°，
∵CD=AB=12cm，
∴EC==6（cm），
∴S△CDE=DE•CE=×6×6=18（cm²）．
分析：（1）由?ABCD中，∠D与∠C的平分线分别交AB于F、E，易证得AD=AF=BE=BC，又由AB=12cm，BC=8cm，即可求得AE、BF的长．
（2）由AE=BE=BC，AE+BE=AB，即可求得点E、F重合时BC长为多少，这时AE的长．
（3）由∠A=60°，易求得∠DEC=90°，然后由勾股定理求得CE的长，继而求得△CDE的面积．
点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．