Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°。
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切？
（3）若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形？

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径， 　　 ∴∠ACB=90°, ∵∠ABC=60°， ∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°, ∴AB=2BC=4， 即⊙O的直径为4cm；
（2）连接OC，如图（1）所示， 则OC=OB， ∵CD⊥CO， ∴∠OCD=90°， ∵∠BAC=30°， ∴∠COD=2∠BAC=60°， ∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°， ∴OD=2OC=4， ∴BD=OD-OB=4-2=2（cm）， ∴当BD长为2cm时，CD与⊙O相切；
（3）根据题意得： BE=（4-2t）cm，BF=tcm； ①当EF⊥BC时，如图（2）所示，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC， ∴，即：， 解得：t=1； ②当EF⊥BA时，如图（3）所示，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA， ∴，即：， 解得：， ∴当t=1s或时，△BEF为直角三角形。