Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=110°．

（1）求证：△ABE∽△DEF．

（2）当点E为AD中点时，求DF的长；

（3）在线段AD上是否存在一点E，使得F点为CD的中点？若存在，求出AE的长度；若不存在，试说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析

【解析】分析：（1）由AD∥BC可求得∠A=∠D=110°，由三角形外角可求得∠AEB=∠DFE，则可证得△ABE∽△DEF；

（2）当E为AD中点时，则可求得DE=AE=，利用相似三角形的性质可得到关于DF的方程，可求得DF的长；

（3）设AE=x，则DE=9﹣x，利用F为CD的中点可得DF=，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程进行判断即可．

详解：（1）∵AB=DC=AD=9，AD∥BC，∴梯形ABCD为等腰梯形．

∵∠ABC=70°，∴∠A=∠D=180°﹣70°=110°．

∵∠BEF=110°，∴∠AEB+∠BEF=∠D+∠DFE，∴∠AEB=∠DFE，∴△ABE∽△DEF；

（2） 当E为AD的中点时，则AE=DE=．

∵△ABE∽△DEF，

∴=，即=，

∴DF=；

（3）不存在．理由如下：

若F为CD的中点，则DF=，设AE=x，则DE=9﹣x，同（2）可得：=，即=，

整理可得：x2﹣9x+=0，

∴△=（﹣9）2﹣4×=﹣81＜0，

∴方程无实数根，

∴不存在满足条件的点E．

点睛：本题为相似三角形的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中利用外角的性质求得角相等是解题的关键，在（2）和（3）中利用相似三角形对应边成比例得到方程是解题的关键．本题考查了知识点较多，综合性较强，难度适中．

【题型】解答题
【结束】
24

综合与探究：

如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1