Question

8．如图，抛物线与x轴交于点A（-5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线为y=a（x+5）（x-3），把点（0，5）代入即可解决问题．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF=$\frac{FG}{FM}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，列出方程即可解决问题．
（3））①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，设点Q（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5）则点P（m+1，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+6），代入抛物线解析式，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-5，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x-3），把点（0，5）代入得到a=-$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+5．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），
则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+5），FM=$\sqrt{E{F}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{1+（m+6）^{2}}$，
∵sin∠AMF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{FG}{FM}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（m+5）}{\sqrt{1+（m+6）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，整理得到2m²+19m+44=0，
∴（m+4）（2m+11）=0，
∴m=-4或-5.5（舍弃），
∴点Q坐标（-4，$\frac{7}{3}$）．
（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），
∵直线AC解析式为y=x+5，
∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），
∵QN=PM，
∴-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5-m-5=m+6-[-$\frac{1}{3}$（m+1）²-$\frac{2}{3}$（m+1）+5]，
解得m=-3+$\sqrt{6}$或-3-$\sqrt{6}$（舍弃），
此时M（-2+$\sqrt{6}$，3+$\sqrt{6}$），
当MN是对角线时，点N在点A的左侧时，设点F（m，0）．
∴m+5-（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5）=[-$\frac{1}{3}$（m+1）²-$\frac{2}{3}$（m+1）+5]-（m+6），
解得m=-3-$\sqrt{6}$或-3+$\sqrt{6}$（舍弃），
此时M（-2-$\sqrt{6}$，3-$\sqrt{6}$）
②当MN为边时，设点Q（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5）则点P（m+1，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+6），
∵NQ=PM，
∴-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+6=-$\frac{1}{3}$（m+1）²-$\frac{2}{3}$（m+1）+5，
解得m=-3．
∴点M坐标（-2，3），
综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（-2，3）或（-2+$\sqrt{6}$，3+$\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，3-$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．