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    13．在△ABC中，BC=8，高AH为4，△DEF在△ABC内，三个顶点D、E、F分别在BC、AB和AC上，且点D与点A在直线EF的异侧，我们称△DEF为△ABC的内接三角形．
    （1）如图1，当△DEF∽△ABC，且EF=3时，求△DEF的面积；
    （2）如图2，在△ABC的内接△DEF中，DE=DF，∠EDF=90°，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求△DEF的面积；
    （3）如图3，在△ABC的内接三角形DEF中，DE=DF，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求等腰△DEF面积的最大值．

    分析 （1）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△DEF的面积；
    （2）作DP⊥EF于P，设EF=x，由EF∥BC，得到成比例线段，代入求出x的值，根据三角形的面积公式求出△DEF的面积；
    （3）设EF=a，根据相似三角形的性质用a表示出△DEF的高PD，列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值．

    解答 解：（1）∵BC=8，高AH为4，
    ∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×8×4=16，
    ∵△DEF∽△ABC，
    ∴$\frac{△DEF的面积}{△ABC的面积}$=（$\frac{EF}{BC}$）2，
    ∴△DEF的面积为：$\frac{9}{4}$；
    （2）如图2，作DP⊥EF于P，
    ∵DE=DF，∠EDF=90°，
    ∴PD=$\frac{1}{2}$EF，
    由题意可知，四边形PDHG为矩形，∴PD=GH，
    设EF=x，则PD=GH=$\frac{1}{2}$x，
    ∵EF∥BC，
    ∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AH}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{4-\frac{1}{2}x}{4}$，
    解得，x=4，
    ∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×EF×PD=4；
    （3）如图2，设EF=a，
    ∵EF∥BC，
    ∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AH}$，即$\frac{a}{8}$=$\frac{4-GH}{4}$，
    解得，GH=4-$\frac{1}{2}$a，
    ∵PD=GH，
    ∴△DEF面积=$\frac{1}{2}$×a×（4-$\frac{1}{2}$a）=-$\frac{1}{2}$（a-4）2+4，
    ∵-$\frac{1}{2}$＜0，
    ∴等腰△DEF面积的最大值为4．

    点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质以及矩形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．

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    ∵AB∥CD（已知）
    ∴∠2=∠EGB（两直线平行，同位角相等）
    ∵GN是∠EGB的平分线，（已知）
    ∴∠4=$\frac{1}{2}$∠BGE （角平分线定义）
    ∵∠1=∠2，∠2=∠EGB（已证）
    ∴∠1=∠EGB（等量代换）
    ∵$∠4=\frac{1}{2}$∠EGB（已证）  
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