Question

命题：如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE=OF．
对上述命题证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
又∵AG⊥EB，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．
∴∠1=∠2
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF
问题：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变（如图2），则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明现由．

Answer 1

解：OE=OF．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO，
又∵AG⊥EB，
∴∠OAF+∠OEB=90°，
∠OEB+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中，，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．
分析：根据正方形的性质求出∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO，再根据同角的余角相等求出∠OBE=∠OAF，然后利用“角边角”证明△AOF和△BOE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，此类题目理解并掌握题目提供的信息与思路是解题的关键．