Question

已知：等腰三角形ABC的三边a，b，c中c=3，且a，b是方程x²-（2k+1）x+2k=0的两个根，求k的值和这个三角形的周长．

Answer 1

解：（1）若c为底边，则a=b，且均为一元二次方程的实数根，故一元二次方程x²-（2k+1）x+2k=0有两个相等的实数根．
由b²-4ac=（2k+1）²-4•2k=0，得：k₁=k₂=，
即a=b=1（不合，舍去） a=b=1，c=3不能构成三角形；

（2）若c为腰，则a、b中必有一边与c相同，
不妨设a=c=3，则3是方程x²-（2k+1）x+2k=0的一根，
∴9-3（2k+1）+2k=0，∴k=，
∴原方程为x²-4x+3=0，
∴x₁=3，x₂=1，
∴b=1，
a=c=3，b=1能构成三角形，
∴△ABC的周长为3+3+1=7．
分析：等腰三角形ABC中c可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论．①当c是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得k的值，从而求解；②当c是底边时，方程有两个相等的实根，根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，从而求得其周长．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将c边进行分类是解题的关键．