Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问：
（1）几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？
（2）几秒后PQ的长为3厘米？
（3）几秒后△ABC与△BPQ相似？

Answer 1

解：（1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm²．

（2）设y秒后PQ的长为3厘米，
则BP=6-y，BQ=2y，
（6-y）²+（2y）²=（3）²，
解得y₁=3，y₂=-（舍去），
答：3秒后PQ的长为3厘米；

（3）解：设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一种情况：当 BP：AB=BQ：BC时，△PBQ与△ABC相似，
∴（6-a）：6=2a：8，
解得：a=2.4，
第二种情况：当 BP：BC=BQ：AB时，△PBQ与△ABC相似，
∴（6-a）：8=2a：6，
∴a=，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2.4或秒钟，使△PBQ与△ABC相似．
分析：（1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程 ×（6-x）×2x=8，求解即可；
（2）设y秒后PQ的长为3厘米，则BP=6-y，BQ=2y，根据勾股定理得出方程 （6-y）²+（2y）²=（3）²，求解即可；
（3）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况 BP：AB=BQ：BC和第二种情况 BP：BC=BQ：AB，代入求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定以及一元二次方程的应用、三角形面积的求法，是中考压轴题，难度较大．