Question

如图1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，
（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD于E点，交BC于F点，连DF，求证：∠ADB=∠CDF．
（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．

Answer 1

（1）证明：作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
∴
∴△BAG≌△CAF，（ASA）
∴AG=CF，
又∵AD=CD，∠GAD=∠C=45°，
∴△AGD≌△DFC，（SAS）
∴∠ADB=∠CDF；

（2）解：∠ADB=∠CMF．
证明：作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
∴
∴△BAG≌△CAF，（ASA）
∴AG=CF，
又∵AD=CM，∠GAD=∠C=45°，
∴△AGD≌△CFM，（SAS）
∴∠ADG=∠CMF；
即：∠ADB=∠CMF．
分析：（1）由∠BAC为直角，得到其他两锐角互余，又根据AE与BD垂直，得到三角形ADF为直角三角形，故两锐角也互余，根据同角的余角相等即可得证；
（2）首先证明△BAG≌△CAF，进而得出△AGD≌△CFM，根据全等三角形对应角相等即可得证．
点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．对条件充分认识和对知识点的系统利用，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．