Question

4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x-2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求△ABC的内切圆半径；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面积即可求出内切圆的半径；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得$\frac{MN}{AB}=\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}=\frac{ON}{AB}$，可求得N点的坐标．

解答 解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0-1）²+1，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+1，
即y=-x²+2x，
联立抛物线和直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴B（2，0），C（-1，-3）；

（2）由（1）知，B（2，0），C（-1，-3）；
∵A（1，1），
∴AB=$\sqrt{（2-1）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1+3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+BC²=AC²
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
∴r=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{2}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x²+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x²+2x|，
由（2）知，AB=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有$\frac{MN}{AB}=\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}=\frac{ON}{AB}$，
①当$\frac{MN}{AB}=\frac{ON}{BC}$时，
∴$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{\sqrt{2}}=\frac{|x|}{3\sqrt{2}}$，即|x||-x+2|=$\frac{1}{3}$|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|-x+2|=$\frac{1}{3}$，
∴-x+2=±$\frac{1}{3}$，解得x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{7}{3}$，
此时N点坐标为（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）；
②当$\frac{MN}{BC}=\frac{ON}{AB}$，时，
∴$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{3\sqrt{2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}}$，
即|x||-x+2|=3|x|，
∴|-x+2|=3，
∴-x+2=±3，
解得x=5或x=-1，
此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）或（-1，0）或（5，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．