Question

被11除后的商等于被除数中各数字的平方和，试写出所有这样的三位数

 

．

Answer 1

分析：先设出满足条件的三位数，由于此三位数是11的倍数，故a-b+c=0或a-b+c=11，①当a-b+c=0时，根据题意列出方程组即可求出a、b、c的值；
②当a-b+c=11时，根据题意列出关于a、b、c的方程，再根据c为奇数求出符合条件的a、b、c的值即可．

解答：解：设满足条件的三位数为

.

abc

，
①若

a-b+c=0(1) 100a+10b+c=11(a2+b2+c2)(2)

消去b得a²+a（c-5）+（c²-

c

3

）=0（3）
于是，c为偶数，把c=0，2，4，6，8代入（3）试验，仅当c=0时，a为正整数，故当a-b+c=0时，a=5，b=5，c=0．
②若a-b+c=11（4）．
100a+10b+c=11（a²+b²+c²）（5）
由（4）（5）消去b得，2a²+2c²+2ac-32a-23c+131=0（6）
易知c为奇数，把c=1，5，7，9代入（6）进行试验，仅当c=3时，a为正整数，故当a-b+c=11时

a=8 b=0 c=3

，故符合条件的三位数是550，803．
故答案为：550，803．

点评：本题考查的是数的整除性问题，根据题意列出关于a、b、c的方程组是解答此题的关键．