Question

已知在四边形ABCD中，∠A=120°，∠ABC=90°，AD=3，BC=，BD=7
（1）求AB的长；（2）求CD的长．

Answer 1

解：（1）如图，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，
∵∠A=120°，
∴∠EAD=60°，
∴∠EDA=90°-60°=30°，
∵AD=3，
∴AE=AD=，
在Rt△ADE中，DE===，
在Rt△BDE中，BE===，
所以，AB=BE-AE=-=5；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，
∵DE⊥AB，∠ABC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BF=DE=，
∵BC=3，
∴CF=BC-BF=3-=，
∴BF=CF，
在△BDF和△CDF中，，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴CD=BD，
∵BD=7，
∴CD=7．
分析：（1）过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，根据∠BAD=120°求出∠EAD=60°，然后求出∠EDA=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BE的长度，然后根据AB=BE-AE计算即可；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，先判定四边形BEDF是矩形，根据矩形的对边相等可得BF的长度，再根据BC的长度求出CF的长度，可得BF=CF，根据“边角边”证明△BDF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BD，从而得解．
点评：本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形，作出辅助线构造出直角三角形是利用勾股定理求解的关键，还考查了全等三角形的判定与性质．