Question

如图 (1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2).  
(1)问：始终与△AGC相似的三角形有(    )及(    )；  
(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情况说明理由）；  
(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

Answer 1

解：(1)△HGA及△HAB； 
 (2)由(1)可知△AGC∽△HAB  
∴即＝，所以，y＝  
 (3)当CG＜BC时，∠GAC＝∠H＜∠HAC， 
 ∴AC<CH ∵AG<AC，
∴AG<GH  又AH>AG,AH>GH  
此时，△AGH不可能是等腰三角形； 
 当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合，
  △AGH是等腰三角形;  
此时，GC=，即x=  当CG>BC时，
由(1)可知△AGC∽△HGA， 
 所以，若△AGH是等腰三角形，只可能存在AG＝AH  
若AG＝AH，则AC＝CG，此时x＝9．
  综上，当x＝9或时，△AGH是等腰三角形．