Question

已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵点F为BC的中点，
∴BF=CF=BC=，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB=b，
∴A，E两点到BC的距离相等，都为bsinα，
则S_△ABF=••bsinα=absinα，
S_△EFC=••bsinα=absinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；

（2）解：
法一：当F为BC上任意一点时，
设BF=x，则FC=a-x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∴，
∴，
在△EFC中，FC边上的高h₁=BEsinα，
∴，
∴，
又在△ABF中，BF边上的高h₂=bsinα，
∴S_△ABF=bxsinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；
法二：∵ABCD为平行四边形，
∴S_△ABC=S_△CDE=absinα，
又∵S_△AFC=S_△CDF，
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，
即S_△ABF=S_△EFC．
分析：（1）S_△EFC=FC•高h，S_△ABF=BF•高h′，而△EFC与△ABF的面积相等且当F为BC的中点，所以必须证明h=h′，而h=ABsinα，
h′=EBsinα，所以证明方向转化为求证EB=AB，而EB=CD，可利用证△EBF≌△DCF来解答，因此便可求证所求；
（2）由于△ABC和△CDE为等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因为△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．
点评：此题考查了平行四边形的基本性质和三角形全等的判定，难易程度适中．