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    精英家教网如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2
    		3
    ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
    （1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
    （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
    （3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
    （2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；
    （3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．
    解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2
    		3
    ，tan∠CFB=
    BC
    BF
    ，
    即tan60°=
    2
    		3
    3-t
    ，即
    		3
    =
    2
    		3
    3-t
    ，
    解得t=1，精英家教网
    ∴当边FG恰好经过点C时，t=1；

    （2）如图1，过点M作MN⊥AB于点N，
    当0≤t＜1时，
    ∵tan60°=
    MN
    EN
    =
    2
    		3
    NE
    =
    		3
    ，
    ∴EN=2，
    EB=3+t，NB=3+t-2=1+t，
    ∴MC=1+t，
    S=
    1
    2
    （MC+EB）×BC=2
    		3
    t+4
    		3
    ；
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    如图2，当1≤t＜3时，
    ∵MN=2
    		3
    ，EF=OP=6，
    ∴GH=6×
    		3
    2
    =3
    		3
    ，
    ∴
    MK
    EF
    =
    GH-MN
    GH
    ，
    ∴MK=2，
    ∵EB=3+t，BF=3-t，BQ=
    		3
    BF=
    		3
    （3-t），
    CQ=2
    		3
    -BQ=
    		3
    t-
    		3
    ，
    ∴S=S梯形MKFE-S△QBF=-
    		3
    2
    t2+3
    		3
    t+
    7
    		3
    2
    ；


    当3≤t＜4时，精英家教网
    ∵MN=2
    		3
    ，EF=6-2（t-3）=12-2t，
    ∴GH=（12-2t）×
    		3
    2
    =6
    		3
    -
    		3
    t，
    ∴
    MK
    EF
    =
    GH-MN
    GH
    ，
    ∴MK=8-2t，
    S=-4
    		3
    t+20
    		3
    ；

    如图4，当4≤t＜6时，
    ∵EF=12-2t，
    高为：EF•sin60°=
    		3
    2
    EF，精英家教网
    S=
    		3
    t2-12
    		3
    t+36
    		3
    ；
    综上所述，S=
    2
    		3
    t+4
    		3
    (0≤t＜1)
    -
    		3
    2
    t2+3
    		3
    t+
    7
    		3
    2
    (1≤t＜3)
    -4
    		3
    t+20
    		3
    (3≤t＜4)
    		3
    t2-12
    		3
    t+36
    		3
    (4≤t＜6)
    ；

    （3）存在．
    理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB=
    BC
    AB
    =
    		3
    3
    ，
    ∴∠CAB=30°，
    又∵∠HEO=60°，
    ∴∠HAE=∠AHE=30°，
    ∴AE=HE=3-t或t-3，精英家教网
    1）当AH=AO=3时，（如图5），过点E作EM⊥AH于M，
    则AM=
    1
    2
    AH=
    3
    2
    ，
    在Rt△AME中，cos∠MAE=
    AM
    AE
    ，
    即cos30°=
    3
    2
    AE
    ，
    ∴AE=
    		3
    ，即3-t=
    		3
    或t-3=
    		3
    ，
    ∴t=3-
    		3
    或t=3+
    		3
    ，

    2）当HA=HO时，（如图6）则∠HOA=∠HAO=30°，精英家教网
    又∵∠HEO=60°，
    ∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
    又∵AE+EO=3，
    ∴AE+2AE=3，AE=1，
    即3-t=1或t-3=1，
    ∴t=2或t=4；

    3）当OH=OA时，（如图7），则∠OHA=∠OAH=30°，精英家教网
    ∴∠HOB=60°=∠HEB，
    ∴点E和点O重合，
    ∴AE=AO=3，
    当E刚开始运动时3-t=3，
    当点E返回O时是：t-3=3，
    即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；

    综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3-
    		3
    或t=3+
    		3
    或t=2或t=4或t=0．
    点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．
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    ；△ADE的面积为
     
    ．

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    A、a≥
    1
    2
    b
    B、a≥b
    C、a≥
    3
    2
    b
    D、a≥2b

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    30
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    3
    3
    cm．

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