Question

如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．

(1)求证：直线CP是⊙O的切线．

(2)若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离．

(3)在第(2)的条件下，求△ACP的周长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1))根据∠ABC＝∠AC且∠CAB＝2∠BCP，在△ABC中∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180°，得到2∠BCP＋2∠BCA＝180°，从而得到∠BCP＋∠BCA＝90°，证得直线CP是⊙O的切线． 　　(2)作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP＝sin∠DBC＝＝＝，求得DC＝2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4． 　　(3)先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长． 　　解答：解：(1)∵∠ABC＝∠AC且∠CAB＝2∠BCP，在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180° 　　∴2∠BCP＋2∠BCA＝180°， 　　∴∠BCP＋∠BCA＝90°， 　　∴直线CP是⊙O的切线． 　　(2)如图，作BD⊥AC于点D， 　　∵PC⊥AC 　　∴BD∥PC 　　∴∠PCB＝∠DBC 　　∵BC＝2，sin∠BCP＝， 　　∴sin∠BCP＝sin∠DBC＝＝＝， 　　解得：DC＝2， 　　∴由勾股定理得：BD＝4， 　　∴点B到AC的距离为4． 　　(3)如图，连接AN， 　　在Rt△ACN中，AC＝＝＝＝5， 　　又CD＝2，∴AD＝AC－CD＝5－2＝3． 　　∵BD∥CP，∴＝，∴CP＝． 　　在Rt△ACP中，AP＝＝， 　　AC＋CP＋AP＝5＋＋＝20， 　　∴△ACP的周长为20． 　　点评：本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．

提示：

考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．