Question

如图，?ABCD中，∠ADC与∠BCD的平分线分别交AB与F、E．
（1）判断DF与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=5，BC=3，求EF的长；
（3）在（2）中，若改变BC的长度，AB=5的长度不变．
①能否使E、F重合？若能，请直接写出BC的长度；若不能，请说明理由；
②能否使E、F成为AB的三等分点？若能，请直接写出BC的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在?ABCD中，∵∠ADC+∠BCD=180°，
∵DF、CE分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠FDC+∠ECD=90°，
∴DF⊥CE；

（2）∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠BEC
又∵∠BCE=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC=3，又AB=5，
∴AE=2．
同理AF=AD=3，
∴EF=AF-AE=1cm

（3）①2.5cm；
②或cm．
分析：（1）由于平行四边形邻角互补，又∠ADC与∠BCD的平分线分别交AB与F、E，所以∠ADC和∠BCD的一半相加为90°，即DF和DE垂直．
（2）由平行四边形的性质和平分线可知角之间的等量关系，因此BC=BE=3，AE=AF=3，所以EF=AF-AE=1；
（3）①由（2）得，BE=BC=AD=AF，即当E、F重合后E（F）就成为了AB的中点，所以此时BC=AB=2.5；
②E、F成为AB的三等分点时，有两种情况，即E在F的左边和右边．但不论E和F位置如何，BC=BE是永远成立的．E在F左边时，由于AB=5，所以，AE=EF=FB=，所以BE=BC=；E在F右边时，AF=FE=EB=，所以BE=BC=．
点评：本题考查的是利用平行四边形的性质来解决有关线段相等的证明．