Question

5．已知，如图为函数y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象，设A为图象上一动点，过点A作AB⊥x轴于B，连接OA并作OA的垂直平分线交OA于C，连接AD．问：是否存在这样的点A，使得△ABD与△ACD相似？若存在，请画出示意图，并求出所有符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 存在这样的点A，使得△ABD与△ACD相似，分两种情况考虑：如图1所示，根据题意得到∠OAD=∠ODA，利用等角对等边得到OD=OA，由OC垂直平分OA，得到OA=AD，即三角形AOD为等边三角形，设A（a，b），进而利用等边三角形的性质及反比例函数性质确定出A的坐标；如图2所示，同理求出A的坐标即可．

解答 解：存在这样的点A，使得△ABD与△ACD相似，
分两种情况考虑：如图1所示，
要使△ABD与△ACD相似，由∠ABD=∠ACD=90°，只需∠OAD=∠ODA，即OD=OA，
又CD垂直平分OA，
∴OD=AD，
∴△OAD是等边三角形，
设点A坐标为（a，b），则b=$\sqrt{3}$a，
又点A在双曲线上，即ab=3$\sqrt{3}$，
解得：a=-$\sqrt{3}$，b=-3（舍去正值），
这时点A坐标是（-$\sqrt{3}$，-3）；
如图2所示，若△ABD与△ACD相似，由∠ABD=∠ACD=90°，只需∠BAD=∠DAO，
∵CD垂直平分OA，
∴AD=OD，
∴∠DAO=∠DOA，
∴∠DOA=30°，
设A（m，n），可得$\frac{n}{m}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即m=$\sqrt{3}$n，
把A坐标代入反比例解析式得：mn=3$\sqrt{3}$，
解得：m=-3，n=-$\sqrt{3}$，
这时A坐标为（-3，-$\sqrt{3}$）．

点评 此题属于反比例综合题，涉及的知识有：等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，弄清题意是解本题的关键．