Question

8．在平面直角坐标系中，在直线l₁：y=x-2上取点A，其横坐标为t，以A为顶点的抛物线C₁与直线l₁相交于点B，如图1，当点B在x轴上时，有AB=$\sqrt{2}$．
（1）求此时抛物线C₁的函数表达式．
（2）当A点移动时，过点A作x轴的平行线，交直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x于点C，C为顶点的抛物线C₂：y=x²+mx+n与直线1₂的另一个交点为点D．
①求抛物线C₂的解析式．（用含t的式子表示）
②当AC⊥BD时，试求四边形ABCD的面积．
③以A，B，D三点为顶点的三角形能否为等腰三角形，若能，求t的值；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意求出B（2，0）、A（3，1），利用顶点式即可解决问题．
（2）①根据题意用t表示点C的坐标，利用顶点式即可解决问题．
②由题意抛物线C₂在平移过程中，线段CD的长是不变的，取t=2，则抛物线C₂的解析式为y=x²，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，可得C（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），推出点C向右平移$\frac{1}{2}$个单位，再向上平移$\frac{1}{4}$的单位即可得到点D，由①可知C（2t-4，t-2），B（t-1，t-3）则D（2t-4+$\frac{1}{2}$，t-2+$\frac{1}{4}$），由AC⊥BD，AC∥x轴，推出B、D的横坐标相等，可得t-1=2t-4+$\frac{1}{2}$，解方程即可解决问题．
③分三种情形列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵B（2，0），AB=$\sqrt{2}$，直线l₁与x轴成45°角，
∴A（3，1），
设抛物线C₁的解析式为y=a（x-3）²+1，
把（2，0）代入得到a=-1，
∴抛物线C₁的解析式为y=-（x-3）²+1，即y=-x²+6x-8．

（2）①设A（t，t-2），
∵AC∥x轴，点C在直线y=$\frac{1}{2}$x上，
∴y=t-2时，t-2=$\frac{1}{2}$x，
∴x=2t-4，
∴C（2t-4，t-2），
∵抛物线C₂的顶点为C，
∴抛物线C₂的解析式为y=（x-2t+4）²+t-2．

②由题意抛物线C₂在平移过程中，线段CD的长是不变的，取t=2，则抛物线C₂的解析式为y=x²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴C（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴点C向右平移$\frac{1}{2}$个单位，再向上平移$\frac{1}{4}$的单位即可得到点D，
由①可知C（2t-4，t-2），B（t-1，t-3）则D（2t-4+$\frac{1}{2}$，t-2+$\frac{1}{4}$），
∵AC⊥BD，AC∥x轴，
∴B、D的横坐标相等，
∴t-1=2t-4+$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$时，AC⊥BD．
此时A（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（1，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴AC=$\frac{3}{2}$，BD=$\frac{5}{4}$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$•AC•BD=$\frac{15}{16}$．

③∵AB=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{（t-\frac{7}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$，BD=$\sqrt{（t-\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{5}{4}）^{2}}$，
当AD=BD时，（t-$\frac{7}{2}$）²+（$\frac{1}{4}$）²=（t-$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{5}{4}$）²，解得t=$\frac{19}{4}$．
当AB=AD时，t²-7t+$\frac{49}{4}$+$\frac{1}{16}$=2，解得t=$\frac{14±\sqrt{31}}{4}$，
当AB=BD时，t²-5t+$\frac{25}{4}$+$\frac{25}{16}$=2，解得t=$\frac{10±\sqrt{7}}{4}$，
综上所述，当△ABD是等腰三角形时，t的值为$\frac{19}{4}$s或$\frac{14±\sqrt{31}}{4}$s或$\frac{10±\sqrt{7}}{4}$s．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、平移变换、等腰三角形的判定和性质、四边形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是理解抛物线的顶点的平移过程中，线段AB、CD的长度不变，属于中考压轴题．