Question

20、若x，y为正整数，使得x²+y²-x能被2xy整除，证明：x为完全平方数．

Answer 1

分析：由x²+y²-x能被2xy整除得出，关于y的一个二次方程，并求出两根，得出两根的关系，△=4[k²x²-（x²-x）]=4x[（k²-1）x+1]应为完全平方数，由于x和（k²-1）x+1互质，进一步得出x为完全平方数．

解答：证明：∵x²+y²-x能被2xy整除，则有x²+y²-x=2kxy（k为整数）整理成关于y的二次方程：y²-2kxy+（x²-x）=0（1）
由题设，此方程有一根y₁为整数，由韦达定理，另一根为y₂满足y₂=2kx-y₁
故y₂也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式
△=4[k²x²-（x²-x）]=4x[（k²-1）x+1]应为完全平方数．
由于x和（k²-1）x+1互质，
故必为完全平方数．

点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及数的整除性和完全平均数，综合性较强．