Question

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形：
（2）若AB=8cm，BC=6cm，求线段EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
由折叠可知∠1=，∠2=，
∴∠1=∠2，
∴AG∥CE，
又AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形；

（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
由勾股定理可得，AC==10，
又CF=BC，则AF=AC-CF=4．
设EF=BE=x，则AE=8-x，
在Rt△AFE中，由勾股定理，得EF²+AF²=AE²，
即x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
即EF=3cm．
分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得AD∥BC，AB∥CD，又由平行线的性质，可得∠DAC=∠BCA，然后根据折叠的性质可得：∠1=∠DAC，∠2=∠BCA，即可证得AG∥CE，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECG是平行四边形；
（2）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=10，则AF=4，再设EF=BE=x，则AE=8-x，然后在Rt△AFE中，由勾股定理，得出方程即x²+4²=（8-x）²，解方程即可求出EF的长．
点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系以及数形结合思想的应用．